Question

Cho △ABC vuông tại A. Phân giác \(\widehat{ABC}\) cắt AC tại M. Biết AC=20cm và BC=25cm

a) TÍnh AB và CM

b) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại D cắt AB tại N. Chứng minh AN.BN= DN.CN và \(\widehat{NAD}=\widehat{NCB}\)

c) Chứng minh BM.BD+CM.CA=\(BC^2\)

Answer 1

a) Áp dụng định lí pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2=BC^2-AC^2=25^2-20^2=225\)

hay \(AB=\sqrt{225}=15cm\)

Xét ΔABC có

BM là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\frac{CM}{BC}=\frac{AM}{AB}\)

hay \(\frac{CM}{25}=\frac{AM}{15}\)

Ta lại có: CM+AM=AC=20cm(M nằm giữa A và C)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{CM}{25}=\frac{AM}{15}=\frac{CM+AM}{25+15}=\frac{AC}{40}=\frac{20cm}{40}=\frac{1}{2}\)

Do đó: \(CM=\frac{25\cdot1}{2}=12,5cm\)

Vậy: AB=15cm; CM=12,5cm