Question

Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 3cm, BC = 5 cm.
a) Tính độ dài cạnh AC và so sánh các góc của ∆ABC
b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng DB.
Chứng minh ∆BCD cân.
c) Gọi K là trung điểm của cạnh BC, đường thẳng DK cắt cạnh AC tại M. Tính MC.

Answer 1

a) Áp dụng định lí pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

⇔\(AC^2=BC^2-BA^2=5^2-3^2=16\)

hay \(AC=\sqrt{16}=4cm\)

Xét ΔABC có AB<AC<BC(3cm<4cm<5cm)

mà góc đối diện với cạnh AB là góc C

và góc đối diện với cạnh AC là góc B

và góc đối diện với cạnh BC là góc A

nên \(\widehat{C}< \widehat{B}< \widehat{A}\)(định lí 1 về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

b) Xét ΔABC vuông tại A và ΔADC vuông tại A có

AB=AD(A là trung điểm của BD)

AC là cạnh chung

Do đó: ΔABC=ΔADC(hai cạnh góc vuông)

⇒BC=DC(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔCBD có CB=CD(cmt)

nên ΔCBD cân tại C(định nghĩa tam giác cân)

c) Xét ΔCBD có

DK là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(K là trung điểm của BC)

CA là đường trung tuyến ứng với cạnh BD(A là trung điểm của BD)

\(DK\cap CA=\left\{M\right\}\)

Do đó: M là trọng tâm của ΔCBD(tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

⇒\(CM=\frac{2}{3}\cdot CA=\frac{2}{3}\cdot4=\frac{8}{3}cm\)

Vậy: \(CM=\frac{8}{3}cm\)