Question

cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. BE cắt O tại M, CF cắt O tại N
a) chứng minh BFEC nội tiếp và AM=AN
b) chứng minh F là trung điểm NH và AO vuông EF    

Answer 1

Lời giải:

a. Tứ giác $BFEC$ có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên là tgnt

$\Rightarrow \widehat{EBF}=\widehat{ECF}$ (cùng nhìn cạnh $EF$)

$\Leftrightarrow \widehat{ABM}=\widehat{ACN}$

$\Rightarrow \text{sđc(AM)}=\text{sđc(AN)}$

$\Rightarrow AM=AN$

b. Do $AM=AN$ (cmt) nên $\widehat{ABN}=\widehat{ABM}$ (góc nt chắn 2 cung bằng nhau)

hay $\widehat{NBF}=\widehat{HBF}$

hay $BF$ là phân giác $\widehat{NBH}$

Tam giác $BNH$ có $BF$ vừa là đường cao và phân giác nên $BHN$ là tam giác cân

$\Rightarrow BF$ cũng là đường trung tuyến của tam giác 

$\Rightarrow F$ là trung điểm NH$

Kẻ tiếp tuyến $Ax$ như hình. Khi đó $Ax\perp AO(1)$

Ta có:

$\widehat{xAB}=\widehat{ACB}$ (theo tc tiếp tuyến) 

$\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$ (do $BFEC$ là tgnt) 

$\Rightarrow \widehat{xAB}=\widehat{AFE}$

Hai góc này ở vị trí so le trong nên $Ax\parallel EF(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow AO\perp EF$ (đpcm)

 

Answer 2

Hình vẽ: