Question

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác

Tìm GTLN của: F=\(\frac{\left(a-b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}{3abc}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\left\{\begin{matrix} (a+b-c)(b+c-a)\leq \frac{(a+b-c+b+c-a)^2}{4}=b^2\\ (a+b-c)(c+a-b)\leq \frac{(a+b-c+c+a-b)^2}{4}=a^2\\ (b+c-a)(c+a-b)\leq \frac{(b+c-a+c+a-b)^2}{4}=c^2\end{matrix}\right.\)

Nhân theo vế và rút gọn, suy ra:

\((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc\)

\(\Rightarrow F=\frac{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{3abc}\leq \frac{abc}{3abc}=\frac{1}{3}\)

Vậy \(F_{\max}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow a=b=c\)