Question

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR:

\(\dfrac{1}{ab+a+2}+\dfrac{1}{bc+b+2}+\dfrac{1}{ca+c+2}\le\dfrac{3}{4}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\dfrac{1}{ab+a+2}=\dfrac{1}{ab+1+a+1}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{ab+1}+\dfrac{1}{a+1}\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{abc}{ab+abc}+\dfrac{1}{a+1}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{abc}{ab\left(c+1\right)}+\dfrac{1}{a+1}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{1}{a+1}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{1}{bc+b+2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}\right);\dfrac{1}{ca+c+2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a+1}{a+1}+\dfrac{b+1}{b+1}+\dfrac{c+1}{c+1}\right)=\dfrac{1}{4}\cdot3=\dfrac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Answer 2

nhấn vào!!!!!

Answer 3

Hình như cái này là chuyên Toán Sư Phạm 2014 - 2015