Question

Cho \(a;b;c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2\le abc\). Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\)

Answer 1

\(a^2+b^2+c^2\le abc\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\le1\)

Đặt vế trái biểu thức là P

\(P=\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{a}{2\sqrt{a^2bc}}+\frac{b}{2\sqrt{b^2ac}}+\frac{c}{2\sqrt{c^2ab}}\)

\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)\le\frac{1}{2}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\right)\le\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)