Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\sum\dfrac{a^4b}{2a+b}=\sum\dfrac{a^4b^2}{2ab+b^2}\ge\dfrac{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
giờ ta chỉ cần có:\(a^2b+b^2c+c^2a\ge a+b+c\)
Áp dụng AM-GM:
\(a^2b+\dfrac{1}{b}\ge2a\)..tương tự ,ta suy ra:
\(a^2b+b^2c+c^2a\ge2\left(a+b+c\right)-\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)(*)
Theo giả thiết: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le3\)
Dễ dàng suy ra được \(a+b+c\ge3\) ( từ BĐT \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\))
theo đó thì \(a+b+c\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
Nên từ (*) ta có đpcm.
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
