Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vũ Tiền Châu

cho a,b,c là các số dươngg thỏa mãn \(ab+bc+ca\le3abc\) chứng minh rằng

\(\dfrac{a^4b}{2a+b}+\dfrac{b^4c}{2b+c}+\dfrac{c^4a}{2c+a}\ge1\)

Neet
26 tháng 9 2017 lúc 23:35

Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:

\(\sum\dfrac{a^4b}{2a+b}=\sum\dfrac{a^4b^2}{2ab+b^2}\ge\dfrac{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

giờ ta chỉ cần có:\(a^2b+b^2c+c^2a\ge a+b+c\)

Áp dụng AM-GM:

\(a^2b+\dfrac{1}{b}\ge2a\)..tương tự ,ta suy ra:

\(a^2b+b^2c+c^2a\ge2\left(a+b+c\right)-\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)(*)

Theo giả thiết: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le3\)

Dễ dàng suy ra được \(a+b+c\ge3\) ( từ BĐT \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\))

theo đó thì \(a+b+c\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

Nên từ (*) ta có đpcm.

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1


Các câu hỏi tương tự
Khởi My
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Anh Khương Vũ Phương
Xem chi tiết
Aocuoi Huongngoc Lan
Xem chi tiết
tràn thị trúc oanh
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Nguyễn Mary
Xem chi tiết
Đức Trịnh Minh
Xem chi tiết