Question

cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a\(\ge1\),b\(\ge2,c\ge3\)

\(CMR\)\(a+b+c+23\ge4\sqrt{a-1}+6\sqrt{b-2}+8\sqrt{c-3}\)

Answer 1

Lời giải:

Do \(a\geq 1; b\geq 2; c\geq 3\Rightarrow a-1, b-2, c-3\geq 0\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có:

\(\left\{\begin{matrix} (a-1)+4\geq 2\sqrt{4(a-1)}=4\sqrt{a-1}\\ (b-2)+9\geq 2\sqrt{9(b-2)}=6\sqrt{b-2}\\ (c-3)+16\geq 2\sqrt{16(c-3)}=8\sqrt{c-3}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế và rút gọn thu được:

\(a+b+c+23\geq 4\sqrt{a-1}+6\sqrt{b-2}+8\sqrt{c-3}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a-1=4\\ b-2=9\\ c-3=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=5\\ b=11\\ c=19\end{matrix}\right.\)