Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Andromeda Galaxy

Cho a,b,c là các số dương có tích bằng 1. Tìm Min của :

\(B=\dfrac{5bc}{a^2b+a^2c}+\dfrac{5ac}{b^2a+b^2c}+\dfrac{5ab}{c^2b+c^2a}\)

Akai Haruma
22 tháng 2 2018 lúc 22:30

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(B=\frac{5bc}{a^2b+a^2c}+\frac{5ac}{b^2a+b^2c}+\frac{5ab}{c^2b+c^2a}\)

\(B=5\left(\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\right)\)\(\geq 5\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)

hay \(B\geq \frac{5}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\) do \(abc=1\)

Suy ra \(B\geq \frac{15}{2}\Leftrightarrow B_{\min}=\frac{15}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Lê Bình
Xem chi tiết
missing you =
Xem chi tiết
Tống Cao Sơn
Xem chi tiết
GG boylee
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Yu gi Oh Magic
Xem chi tiết
Hoàng Ngọc Tuyết Nung
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết