Question

Cho a,b,c là 3 số thực thuộc 0<a,b,c<1 và thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{1}{1-ab}+\dfrac{1}{1-bc}+\dfrac{1}{1-ca}=4\)

Tìm GTNN biểu thức

P=\(\dfrac{a^2}{1-a^2}+\dfrac{b^2}{1-b^2}+\dfrac{c^2}{1-c^2}\)

giúp tớ nha tớ cần gấp

Answer 1

Ta có BĐT sau:\(\dfrac{1}{1-a^2}+\dfrac{1}{1-b^2}\ge\dfrac{2}{1-ab}\left(\forall a,b\in\left(0;1\right)\right)\)(*)

Cm:(*)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(ab+1\right)\left(a-b\right)^2}{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)\left(1-ab\right)}\ge0\)( đúng vì 0<a,b<1)

\(VT=\dfrac{1}{2}\left[\sum\dfrac{2a^2}{1-a^2}\right]=\dfrac{1}{2}\left[\sum\left(\dfrac{2a^2}{1-a^2}+2\right)\right]-3\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[\sum\left(\dfrac{2}{1-a^2}\right)\right]-3=\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{1}{1-a^2}+\dfrac{1}{1-b^2}\right)-3\ge\dfrac{1}{2}.\sum\dfrac{2}{1-ab}-3=1\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)