Với a, b, c là các số dương.
Ta có: \(\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}=2\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{a+b+1}=\left(1-\dfrac{1}{b+c+1}\right)+\left(1-\dfrac{1}{c+a+1}\right) \)
\(=\dfrac{b+c}{b+c+1}+\dfrac{c+a}{c+a+1}\)
\(\ge2\sqrt{\dfrac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}}>0\) (Bất đẳng thức Cô-si)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b+c+1}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{\left(c+a+1\right)\left(a+b+1\right)}}>0\)
\(\dfrac{1}{c+a+1}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)}}>0\)
Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được:
\(\dfrac{1}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\) \(\ge\dfrac{8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\)
\(\Rightarrow\) \(1\ge8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow\) \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{1}{4}\).
Vậy giá trị lớn nhất của tích \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) bằng \(\dfrac{1}{8}\) khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{1}{4}\).
