Question

Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác, cmr: (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)=< abc

Answer 1

\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\dfrac{1}{4}\left(a+b-c+b+c-a\right)=b^2\)

Tương tự: \(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\le a^2\)

\(\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le c^2\)

Nhân vế với vế:

\(\left[\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)