Question

Cho a;b;c là 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh:\(\dfrac{ab}{a+b-c}+\dfrac{bc}{-a+b+c}+\dfrac{ca}{a-b+c}\ge a+b+c\)

Answer 1

Gọi cái đó là P

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=2x\\c+a-b=2y\\a+b-c=2z\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=y+z\\b=z+x\\c=x+y\end{matrix}\right.\)

Thì ta có:

\(P=\dfrac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{2z}+\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+y\right)}{2y}+\dfrac{\left(z+x\right)\left(y+x\right)}{2x}\ge2\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2-2xyz^2-2yzx^2-2zxy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-yz\right)^2+\left(yz-zx\right)^2+\left(zx-xy\right)^2\ge0\) (đúng)

\(\RightarrowĐPCM\)