Câu hỏi của Neet

Question

Cho a;b;c không âm  . Chứng minh :

$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{3}{a+b+c}\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Lightning Farron · Accepted Answer

Fix: Chuẩn hóa $a+b+c=1$. Ta có BĐT

$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)}+\dfrac{3}{a+b+c}$

CM như sau: $VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}+3$

Và $VP=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2(ab+bc+ca)}+3$

Cần cm $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$$\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2(ab+bc+ca)}$ (C-S dạng Engel)

*)Quay lại bài toán đầu:

$\dfrac{1}{2(ab+bc+ca)}+6\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab+bc+ac}}$

Đặt $\sqrt{ab+bc+ac}=t\ge0$$\Rightarrow\dfrac{1}{2t^2}+6\ge\dfrac{1}{t}\Leftrightarrow12t^2-6t+1\ge0\forall t\ge0$Câu trả lời: Fix: Chuẩn hóa $a+b+c=1$. Ta có BĐT

$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{a+b+c}{2(ab+bc+ca)}+\dfrac{3}{a+b+c}$

CM như sau: $VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}+3$

Và $VP=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2(ab+bc+ca)}+3$

Cần cm $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$$\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2(ab+bc+ca)}$ (C-S dạng Engel)

*)Quay lại bài toán đầu:

$\dfrac{1}{2(ab+bc+ca)}+6\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab+bc+ac}}$

Đặt $\sqrt{ab+bc+ac}=t\ge0$$\Rightarrow\dfrac{1}{2t^2}+6\ge\dfrac{1}{t}\Leftrightarrow12t^2-6t+1\ge0\forall t\ge0$

Lightning Farron · Answer

Ta cm BĐT $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{a+b+c}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\dfrac{3}{a+b+c}$

Bằng cách chuẩn hóa $a+b+c=1$. Khi đó:

$VT=\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}$

$=\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+3$

$VP=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}+3$

Tức cần cm $\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}$$\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}$ (C-S dạng Engel)

*)Quay lại đề: $BDT_{\text{cần cm}}\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\left(ab+bc+ac\right)}+3\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab+bc+ac}}$

Đặt $\sqrt{ab+bc+ac}=t\ge0$$\Rightarrow\dfrac{1}{2t^2}+3\ge\dfrac{1}{t}\Leftrightarrow\dfrac{6t^2-2t+1}{t^2}\ge0\forall t\ge0$Câu trả lời: Ta cm BĐT $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{a+b+c}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\dfrac{3}{a+b+c}$

Bằng cách chuẩn hóa $a+b+c=1$. Khi đó:

$VT=\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}$

$=\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+3$

$VP=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}+3$

Tức cần cm $\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}$$\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}$ (C-S dạng Engel)

*)Quay lại đề: $BDT_{\text{cần cm}}\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\left(ab+bc+ac\right)}+3\ge\dfrac{1}{\sqrt{ab+bc+ac}}$

Đặt $\sqrt{ab+bc+ac}=t\ge0$$\Rightarrow\dfrac{1}{2t^2}+3\ge\dfrac{1}{t}\Leftrightarrow\dfrac{6t^2-2t+1}{t^2}\ge0\forall t\ge0$

Neet · Answer

Sorry , it's a mistake .

Đề bài : Cho a,b,c không âm . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{3}{a+b+c}\ge\dfrac{4}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Lời giải:

Chuẩn hóa a+b+c=1.Áp dụng AM-GM ta được:

$\dfrac{1}{ab+bc+ca}+4\ge2\sqrt{\dfrac{4}{ab+bc+ca}}=\dfrac{4}{\sqrt{ab+bc+ca}}$

Do vậy ta chỉ cần đi chứng minh:

$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{3}{a+b+c}\ge\dfrac{1}{ab+bc+ca}+4$

hay $\sum\dfrac{a}{b+c}+6\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+4$

$\Leftrightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$

$\Leftrightarrow\sum\left[a\left(b+c\right)+bc\right].\dfrac{a}{b+c}\ge a^2+b^2+c^2$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+abc\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge a^2+b^2+c^2$

Điều này luôn đúng do a,b,c không âm .Vậy ta có đpcm.

Dấu = xảy ra khi 1 số bằng 0 , 2 số còn lại bằng nhau.

P/s: nhờ ý tưởng of sir :VCâu trả lời: Sorry , it's a mistake .