Question

Cho a,b,c dương.CMR

\(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\ge2\left(1+\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right)\)

Answer 1

Đặt T là vế trái của BĐT, nhân vào biến đổi ta được

\(T=2+\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-3\)

\(T\ge2+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}-3\)(Sử dụng AM-GM rồi tách)

\(T\ge2+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{abc}}-3\)

\(T\ge2\left(1+\dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\right)\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c