Question

Cho a,b,c > 0 và a.b.c = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

P = (a + 1)(b + 1)(c + 1)

Answer 1

Giải:

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+1\ge2\sqrt{a.1}=2\sqrt{a}\\b+1\ge2\sqrt{b.1}=2\sqrt{b}\\c+1\ge2\sqrt{c.1}=2\sqrt{c}\end{matrix}\right.\)

Nhân vế theo vế ta có:

\(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\) \(2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)

\(\Rightarrow P\ge\left(2.2.2\right).\left(\sqrt{a}.\sqrt{b}.\sqrt{c}\right)=8.\sqrt{abc}\)

Mà \(abc=1\) Nên \(P\ge8.\sqrt{1}=8.1=8\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vậy \(P_{min}=8\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Answer 2

vào đây: Câu hỏi của nguyễn thị oanh - Toán lớp 8 | Học trực tuyến