Question

Cho a,b,c >0 và \(a^2+b^2+c^2=3\).Chứng minh: (a+b)(a+c)(b+c)≤8.

Answer 1

Ta có \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(ab+ac+b^2+bc\right)\left(c+a\right)=2abc+a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b\)

Mà \(\sum a^2b+\sum ab^2\le\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\dfrac{2}{3}.3.3=6\)

Mà \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\le1\Rightarrow2abc\le2\)

Cộng lại, ta có

VT\(\le8\)

dấu = xảy ra <=> a=b=c=1

^_^