Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
dbrby

cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c = 3. Cmr:

\(\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\ge\frac{3}{2}\)

Nguyễn Việt Lâm
30 tháng 10 2019 lúc 0:44

Copy paste lại bài hôm rồi, đỡ phải nghĩ:v

Ta chứng minh bổ đề sau: cho hai dãy số dương \(a\ge b\ge c\)\(x\ge y\ge z\) thì \(ax+by+cz\ge bx+cy+az\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(\left(a-b\right)x+\left(b-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x-\left(a-b\right)y+\left(a-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(a-c\right)\left(y-z\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3\ge b^3\ge c^3\\\frac{1}{b^2+c^2}\ge\frac{1}{c^2+a^2}\ge\frac{1}{a^2+b^2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{c^2+a^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\ge\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}+\frac{a^3}{a^2+b^2}\)

Ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)

Thiết lập tương tự và cộng lại:

\(P\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
dam thu a
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
dam thu a
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
lữ thị xuân nguyệt
Xem chi tiết
Lightning Farron
Xem chi tiết
lữ thị xuân nguyệt
Xem chi tiết