Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phạm yến chi

Cho a,b,c > 0 sao cho a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

H = \(\dfrac {a}{2017a + 1}\)+\(\dfrac {b}{2017b + 1} \)+\(\dfrac {c}{2017c + 1}\)

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 4 2019 lúc 20:52

\(H=\frac{a^2}{2017a^2+a}+\frac{b^2}{2017b^2+b}+\frac{c^2}{2017c^2+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2017\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a+b+c\right)}\)

\(H\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2017.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{\frac{2017}{3}+1}=\frac{3}{2020}\)

\(\Rightarrow H_{max}=\frac{3}{2020}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Akai Haruma
29 tháng 4 2019 lúc 13:06

Bài dưới bị ngược dấu.

\(H=\frac{a}{2017a+1}+\frac{b}{2017b+1}+\frac{c}{2017c+1}\)

\(\Rightarrow 2017H=\frac{2017a}{2017a+1}+\frac{2017b}{2017b+1}+\frac{2017c}{2017c+1}=1-\frac{1}{2017a+1}+1-\frac{1}{2017b+1}+1-\frac{1}{2017c+1}\)

\(=3-\left(\frac{1}{2017a+1}+\frac{1}{2017b+1}+\frac{1}{2017c+1}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:

\(\frac{1}{2017a+1}+\frac{1}{2017b+1}+\frac{1}{2017c+1}\geq \frac{9}{2017(a+b+c)+3}=\frac{9}{2020}\)

\(\Rightarrow 2017H=3-\left(\frac{1}{2017a+1}+\frac{1}{2017b+1}+\frac{1}{2017c+1}\right)\leq 3-\frac{9}{2020}=\frac{6051}{2020}\)

\(\Rightarrow H\leq \frac{3}{2020}\)

Vậy \(H_{\max}=\frac{3}{2020}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
thùy linh
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Ju Moon Adn
Xem chi tiết
Nguyễn Tuấn
Xem chi tiết
Đinh Cẩm Tú
Xem chi tiết
An Binnu
Xem chi tiết
Nguyen Hoang Khanh Anh
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết