Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Anh Phạm Xuân

Cho a,b,c >0 , a+b+c=2019 Tìm Min

\(P=\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\)

Eren
2 tháng 10 2018 lúc 21:41

Ta có: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự: \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)\)

\(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(c+a\right)\)

\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)+\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)+\dfrac{1}{2}\left(c+a\right)=a+b+c=2019\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 673

Tinh Lãm
2 tháng 10 2018 lúc 21:49

Ta có: a2-ab+b2 = \(\dfrac{1}{4}\)(a+b)2+3(a-b)2\(\ge\)\(\dfrac{1}{4}\)(a+b)2

\(\Rightarrow\)\(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\dfrac{1}{2}\)(a+b)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a=b

CMTT ta có: \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\)\(\ge\dfrac{1}{2}\)(b+c) \(\Leftrightarrow\) b=c

\(\sqrt{c^2-ca+c^2}\)\(\ge\dfrac{1}{2}\left(c+a\right)\Leftrightarrow\)c=a

\(\Rightarrow\) P\(\ge\) \(\dfrac{1}{2}2\left(a+b+c\right)\)= 2019

Vậy Pmin = 2019

Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\)a=b=c=673

Tinh Lãm
2 tháng 10 2018 lúc 22:09

Cách 2:

Theo BĐT Cô si ta có: ab \(\le\) \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\)

\(\Rightarrow\) -ab \(\le\) -\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\)

\(\Rightarrow\) a2-ab+b2 \(\ge\) a2- \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\)+b2 = \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\)

Mặt khác ta có a2+b2 \(\ge\) \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

\(\Rightarrow\) a2-ab+b2 \(\ge\) \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow\) \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\)\(\ge\) \(\dfrac{|a+b|}{2}\)= \(\dfrac{a+b}{2}\)

CMTT: \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\) \(\ge\)\(\dfrac{b+c}{2}\)

\(\sqrt{c^2-ca+a^2}\)\(\ge\)\(\dfrac{c+a}{2}\)

\(\Rightarrow\) P\(\ge\)\(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{2}\) = 2019

Vậy Pmin = 2019

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) a=b=c=673


Các câu hỏi tương tự
Vũ Đình Thái
Xem chi tiết
Trúc Giang
Xem chi tiết
Anna Trần
Xem chi tiết
Phan Cả Phát
Xem chi tiết
Nguyễn Tường Vy
Xem chi tiết
Sĩ Bí Ăn Võ
Xem chi tiết
Nguyễn Thiều Công Thành
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Tuệ Lâm
Xem chi tiết