Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
Đặt \(M=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow M\ge\left(a+b+1\right).2=\left(a+b\right)+\left(a+b\right)+2+\frac{4}{a+b}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(M\ge2.\sqrt{ab}+2.\sqrt{\left(a+b\right).\frac{4}{a+b}}+2=2+2.2+2=8\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
Cho các số dương a và b thõa mãn điều kiện \(a+b=1\)
CMR : \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1
Chứng minh rằng : \(P=\dfrac{1}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c+1\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge1\)
Hứa tặng GP nha :))
I. BĐT:
1.Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác CMR:
\(\left(a\right)a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\left(b\right)\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)
\(\left(c\right)\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}< 2\)
2. Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1 CMR: \(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge6\)
3. \(\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-6\right)+9\ge0\)
4. \(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\le\dfrac{a+b +c}{2}\)
Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\) . CMR : \(\sqrt[3]{\dfrac{a}{b\left(b+2c\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{b}{c\left(c+2a\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{c}{a\left(a+2b\right)}\ge\dfrac{3}{\sqrt[3]{3}}}\)
Cho a,b>0 thỏa mãn: a+b=1. CM: \(\left(a+\dfrac{1}{a}\right).\left(b+\dfrac{1}{b}\right)\ge\dfrac{25}{4}\)
CMR nếu \(\left(a^2-bc\right).\left(b-abc\right)=\left(b^2-ac\right).\left(a-abc\right)\) và các số a, b, c, a-b khác 0 thì \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=a+b+c\)
Cho a,b, c>0 thỏa mãn a+b+c=3.
CMR: \(\dfrac{a^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}>=\dfrac{3}{4}\)
Choa,b,c >0.
CMR: \(\dfrac{a^4}{b^2\left(c+a\right)}+\dfrac{b^4}{c^2\left(a+b\right)}+\dfrac{c^4}{a^2\left(b+c\right)}>=\dfrac{a+b+c}{2}\)
Cho 2 số thực a, b thỏa mãn ab ≠ 0, a ≠ 1, b ≠ 1 và a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức
\(P=\dfrac{a}{b^3-1}-\dfrac{b}{a^3-1}+\dfrac{2\left(a-b\right)}{a^2b^2+3}\)
