Ta có: Trường hợp 1:
a<b
\(a< b\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< 1\Rightarrow\dfrac{a+m}{b+m}< 1\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+m}{b+m}\)
Trường hợp 2:
a>b
\(a>b\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}>1\Rightarrow\dfrac{a+m}{b+m}>1\Rightarrow\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+m}{b+m}\)
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a.\left(b+2017\right)}{b.\left(b+2017\right)}=\dfrac{a.b+a.2017}{b\left(b+2017\right)}\left(1\right)\)
\(\dfrac{a+2017}{b+2017}=\dfrac{b.\left(a+2017\right)}{b.\left(b+2017\right)}=\dfrac{a.b+b.2017}{b.\left(b+2017\right)}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\) + Nếu a>b thì \(\dfrac{a.b+a.2017}{b.\left(b+2017\right)}>\dfrac{b.a+b.2017}{b.\left(b+2017\right)}\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+2017}{b+2017}\)
+ Nếu a<b thì \(\dfrac{a.b+a.2017}{b.\left(b+2017\right)}< \dfrac{b.a+b.2017}{b.\left(b+2017\right)}\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+2017}{b+2017}\)
+ Nếu a=b thì \(\dfrac{a.b+a.2017}{b.\left(b+2017\right)}=\dfrac{b.a+b.2017}{b.\left(b+2017\right)}\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+2017}{b+2017}\)
Qui đồng mẫu số:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\left(b+2017\right)}{b\left(b+2017\right)}=\dfrac{ab+2017a}{b\left(b+2017\right)}\)
\(\dfrac{a+2017}{b+2017}=\dfrac{b\left(a+2017\right)}{b\left(b+2017\right)}=\dfrac{ab+2017b}{b\left(b+2017\right)}\)
Vì b>0 nên mẫu số của hai phân số trên dương. Chỉ cần so sánh tử số.
Ta so sánh: ab + 2017a với ab + 2017
\(-\)Nếu a < b \(\Rightarrow\) tử số phân số thứ nhất < tử số phân số thứ hai
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+2017}{b+2017}\)
\(-\)Nếu a = b \(\Rightarrow\) hai phân số bằng nhau = 1
\(-\)Nếu a > b \(\Rightarrow\) tử số phân số thứ nhất > tử số phân số thứ hai
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}>\dfrac{a+2017}{b+2017}\)
Chúc bạn học tốt!!!!
