\(a^2+b^2=4+ab\le4+\frac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\le4\Rightarrow a^2+b^2\le8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)
\(a^2+b^2=4+\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2-\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\ge4-\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)\ge4\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{8}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=-b=\frac{2\sqrt{3}}{3}\) và hoán vị
cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện \(a^2+b^2+c^2=1\) .Chứng minh rằng \(-\sqrt{3}\le a+b+c\le\sqrt{3}\) Đẳng thức xảy ra khi nào ?
cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=9. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{b+c+7}{2+a}+\dfrac{c+a+6}{3+b}+\dfrac{a+b+5}{4+c}\ge6\) Dấu bằng xảy ra khi nào?
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=8. Chứng minh
\(\frac{a}{ca+4}+\frac{b}{ab+4}+\frac{c}{bc+4}\le\frac{1}{16}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
1.cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b=1. Chứng minh \(B=a^3+b^3+8\left(a^4+b^4\right)+\frac{2}{ab}\ge\frac{37}{4}\). Đẳng thức xảy ra khi nào?
2. Giải bài sau bằng hai cách:
tìm x, y nguyên thỏa mãn: \(x^2-2y^2=1\)
Cho 3 số thực a,b,c sao cho 1≤a,b,c≤2. Chứng minh BĐT
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\ge7\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab-2}}+\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{c^4+c^3+ac+2}}\le\sqrt{3}\)
Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy ba điểm bất kì I, J, K sao cho K khác A, B và góc IKJ bằng 60 độ. Chứng minh: \(AJ.BI\le\dfrac{AB^2}{4}\) . Dấu "=" xảy ra khi nào?
1 . Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh
\(\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}\le\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
2 .
Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn: a+b≤1
Tìm giá trị nhỏ nhất của : \(Q=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2012ab+1}{ab}+4ab\)
Cho \(a;b;c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2\le abc\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\)
