Câu hỏi của Sơn Khuê

Question

Cho a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh 2(a + b + c) + ($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$) ≥ 9

Trần Thanh Phương · Accepted Answer

Ta có $a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2\le3\Rightarrow a\le\sqrt{3}< 2$

Khi đó ta sẽ chứng minh $2a+\frac{1}{a}\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow\left(2-a\right)\left(a-1\right)^2\ge0$ ( luôn đúng do $a< 2$ )

Áp dụng tương tự rồi cộng vế ta được:

$2a+\frac{1}{a}+2b+\frac{1}{b}+2c+\frac{1}{c}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}+\frac{5}{2}\cdot3=\frac{3}{2}+\frac{15}{2}=9$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$Câu trả lời: Ta có $a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2\le3\Rightarrow a\le\sqrt{3}< 2$

Khi đó ta sẽ chứng minh $2a+\frac{1}{a}\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow\left(2-a\right)\left(a-1\right)^2\ge0$ ( luôn đúng do $a< 2$ )

Áp dụng tương tự rồi cộng vế ta được:

$2a+\frac{1}{a}+2b+\frac{1}{b}+2c+\frac{1}{c}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}+\frac{5}{2}\cdot3=\frac{3}{2}+\frac{15}{2}=9$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Violympic toán 8