Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Sơn Khuê

Cho a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh 2(a + b + c) + (\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)) ≥ 9

Trần Thanh Phương
28 tháng 6 2020 lúc 16:53

Ta có \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2\le3\Rightarrow a\le\sqrt{3}< 2\)

Khi đó ta sẽ chứng minh \(2a+\frac{1}{a}\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2-a\right)\left(a-1\right)^2\ge0\) ( luôn đúng do \(a< 2\) )

Áp dụng tương tự rồi cộng vế ta được:

\(2a+\frac{1}{a}+2b+\frac{1}{b}+2c+\frac{1}{c}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}+\frac{5}{2}\cdot3=\frac{3}{2}+\frac{15}{2}=9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Maxx
Xem chi tiết
Đinh Cẩm Tú
Xem chi tiết
Tranh Diệp Phi
Xem chi tiết
Trần Thị Hảo
Xem chi tiết
Uyen Nguyen
Xem chi tiết
Thảo Vũ
Xem chi tiết
Hiếu
Xem chi tiết
Lăm A Tám
Xem chi tiết
Thỏ bông
Xem chi tiết