Lời giải:
Ta có \(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow 3a^2+a=3b^2+b+a^2\)
\(\Leftrightarrow 3(a^2-b^2)+(a-b)=a^2\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(3a+3b+1)=a^2\)
Gọi ƯCLN \((a-b, 3a+3b+1)=t\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b\vdots t\rightarrow 3a-3b\vdots t\\ 3a+3b+1\vdots t\end{matrix}\right.\) (*)
Cộng hai vế suy ra \(6a+1\vdots t\) (1)
Mặt khác từ (*) suy ra \(\Rightarrow a^2=(a-b)(3a+3b+1)\vdots t^2\)
\(\Rightarrow a\vdots t\) (2)
Từ (1);(2) suy ra \(1\vdots t\Leftrightarrow t=1\)
Do đó $a-b,3a+3b+1$ nguyên tố cùng nhau
Mà tích hai số là số chính phương nên bản thân mỗi số đó là một số chính phương.
Ta có đpcm.
