Question

Cho A = {\(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}};.......;\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)}

CM tổng tất cả phần tử trong tập hợp A là một số nguyên

Answer 1

Em thử nhá, ko chắc đâu...

Gọi B là tổng các phần tử trong tập hợp A.

Thì \(B=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

Xét dạng tổng quát \(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\left(n\in Z^+\right)=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Suy ra \(B=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+....+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

\(=\sqrt{100}-1=10-1=9\) là một số nguyên (đpcm)