Câu hỏi của Thủy Nguyễn

Question

Cho a, b là 2 số dương thỏa mãn a+b=2

Tìm GTNN của biểu thức Q= 2(a2+b2)-6(a/b+ b/a) + 9(1/a2+1/b2)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG · Accepted Answer

Ta có : $a+b=2\Rightarrow\left(a+b\right)^2=4$

Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :

$\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2$

$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{4}{a^2+b^2}=2$

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}\times\dfrac{b}{a}}=2$

$\Rightarrow Q\ge2.2-6.2+9.2=10$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=1$Câu trả lời: Ta có : $a+b=2\Rightarrow\left(a+b\right)^2=4$

Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có :

$\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2$

$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{4}{a^2+b^2}=2$

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}\times\dfrac{b}{a}}=2$

$\Rightarrow Q\ge2.2-6.2+9.2=10$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=1$

Violympic toán 9