Question

cho a, b, c>=1. tìm giá trị lớn nhất của P=(1+a)(1+b)(1+c)/(abc+1)

Answer 1

Lời giải:

Khai triển ta có \(P=\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc+1}=1+\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{abc+1}\) \((1)\)

Vì \(a,b,c\geq 1\Rightarrow (ab-1)(c-1)\geq 0\Leftrightarrow abc+1\geq ab+c\)

Tương tự, thu được \(\left\{\begin{matrix} abc+1\geq bc+a\\ abc+1\geq ac+b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 3(abc+1)\geq ab+bc+ac+a+b+c\) \((2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow P\leq 1+3=4\)

Vậy \(P_{\max}=4\Leftrightarrow a=b=c=1\)