Điều kiện \(a,b,c\ne0\) và \(a+b+c\ne0\)
Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b+c-c}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac+bc+c^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\frac{ab+bc+ac+c^2}{ab\left(ac+bc+c^2\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{ab\left(ac+bc+c^2\right)}=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
Bạn yêu cầu một vài ví dụ : Cho giả thiết như đề bài.
Chứng minh : +) a = -b hoặc b = -c hoặc c = -a
+) \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3\)