Ta có: \(a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}-\left(a+\dfrac{b+c}{2}\right)^2=a\left(a+b+c\right)+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}-\left(a+\dfrac{b+c}{2}\right)^2=\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}-\dfrac{\left(b+c\right)^2}{4}=-bc\le0\)
Từ đó: \(a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}\le\left(a+\dfrac{b+c}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{4}}\le a+\dfrac{b+c}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{b+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{4}}\le b+\dfrac{c+a}{2}\)
\(\sqrt{c+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le c+\dfrac{a+b}{2}\)
Cộng vế theo vế, ta được:
\(P\le a+b+c+\dfrac{a+b+b+c+c+a}{2}=2\)
Vậy maxP là 2 khi và chỉ khi a=b=0;c=1 và các hoán vị
