Question

Cho a, b, c có tổng bằng 1 (a, b, c > 0). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\).

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{9}{1}=9\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Answer 2

Áp dụng BĐT Svacxo ta được

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a+b+c\right)}\)

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}=9\)

Vậy BĐT được chứng minh