Câu hỏi của Trang

Question

Cho 3 số x, y, z thỏa mãn $x+y+z=3$

tính GTLN của $B=xy+yz+xz$

Đinh Đức Hùng · Accepted Answer

Theo bđt Bunhiacopxki ta có : $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2+y^2\right)\ge\left(xy+yz+xz\right)^2$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+xz\right|\ge xy+yz+xz$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge3\left(xy+yz+xz\right)$

$\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)$

$\Rightarrow xy+yz+xz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{3^2}{3}=3$ có GTLN là 3

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$Câu trả lời: Theo bđt Bunhiacopxki ta có : $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(z^2+x^2+y^2\right)\ge\left(xy+yz+xz\right)^2$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+xz\right|\ge xy+yz+xz$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge3\left(xy+yz+xz\right)$

$\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)$

$\Rightarrow xy+yz+xz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{3^2}{3}=3$ có GTLN là 3

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Phương trình bậc nhất một ẩn