Question

Cho 3 số thực dương a;b;c. Chứng minh :

\(1+\dfrac{3}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{6}{a+b+c}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có hệ quả quen thuộc sau:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq ab+bc+ac\Rightarrow \frac{3}{ab+bc+ac}\geq \frac{3}{\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{9}{(a+b+c)^2}\)

Do đó:

\(1+\frac{3}{ab+bc+ac}\geq 1+\frac{9}{(a+b+c)^2}\) (1)

Ta sẽ đi chứng minh \(1+\frac{9}{(a+b+c)^2}\geq \frac{6}{a+b+c}\) (2)

\(\Leftrightarrow \left(\frac{3}{a+b+c}-1\right)^2\geq 0\) (đúng)

Từ (1),(2) suy ra \(1+\frac{3}{ab+bc+ac}\geq \frac{6}{a+b+c}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)