Áp dụng BĐT Cô-si cho 4 số \(a^3;1\) số \(b^3\) và \(1\) số \(c^3\) ta có:
\(4a^3+b^3+c^3\ge6\sqrt[6]{a^{12}.b^3.c^3}=6a^2\sqrt{bc}\left(1\right)\)
Tương tự như trên ta có:
\(4b^3+c^3+a^3\ge6b^2\sqrt{ca}\left(2\right)\)
\(4c^3+a^3+b^3\ge6c^2\sqrt{ab}\left(3\right)\)
Cộng theo vế các BĐT \(\left(1\right)\left(2\right)\)\(\left(3\right)\) ta được:
\(6\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge6\left(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}\left(đpcm\right)\)
\(\left(???\right)\)
\(VT=\sqrt{a^3}.\sqrt{abc}+\sqrt{b^3}.\sqrt{abc}+\sqrt{c^3}.\sqrt{abc}\)
\(VT\le\frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3+3abc\right)\)
\(VT\le\frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3+a^3+b^3+c^3\right)\)
\(VT\le a^3+b^3+c^3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
