Giả sử \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b+c\right)^2\le9ab\\\left(a+b+c\right)^2\le9bc\\\left(a+b+c\right)^2\le9ca\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\le0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\) trái với giả thiết a;b;c đôi một khác nhau
Vậy điều giả sử là sai hay tồn tại một trong 3 số nhỏ hơn \(\left(a+b+c\right)^2\)
1. Cho tam giác ABC có đọ dài các đường hân giác trog nhỏ hơn 1.
Chứng minh rằng diện tích tam giác đó nhỏ hơn \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
2. Trên mặt phẳng cho 2012 điểm , khoảng cách giữa chúng đôi một khác nhau. Nối mỗi điểm trong 2012 điểm này với điểm gần nhất.
CMR với cách nối này ta không thể nhận được một đường gấp khúc khép kín
3. Trên mặt phẳng cho 2012 điểm không thẳng hàng.
CMR tồn tại một đường tròn đi qua 3 trong 2012 điểm đã cho mà đường tròn này không chứa bất kì điểm nào trong số những điểm còn lại
4. Trên mặt phẳng cho n điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kì đôi một khác nhau. Người ta nối mỗi điểm với điểm gần nhất.
CMR qua mỗi điểm co không quá 5 đoạn thẳng
5. Cho 7 số nguyên dương khác nhau không vượt quá 1706.
CMR tồn tại 3 số a, b, c trong chúng sao cho a<b+c<4a
Một số bài tập hình học tổ hợp. Mn giúp em với ạ!
1. cho 2005 điểm trên mặt phẳng. cmr: tồn tại 1 hình vuông chứa đúng 100 điểm trong các ddiemr đã cho.
2. trên mặt phẳng cho 20 điểm. Người ta nối 1 số cặp điểm trong 20 điểm này lại với nhau sao cho với 3 điểm bấy kì trong chúng luôn tồn tại ít nhất 2 điểm k đc nối vs nhau. cmr: số đoạn
thẳng tạo thành k vượt quá 100.
3. Bên trong 1 đa giác lồi có 1 số điểm phân biệt. cmr có thể chia đa giác đó thành những đa giác lồi nhỏ mà mỗi đã giác lồi chứa 1 điểm trong cá điểm đã cho.
4. Cho hữu hạn hình vuông. cmr: có thể cắt mỗi hình vuông thành hữu hạn mảnh mà từ các mảnh nhạn đc ta có thể ghép thành 1 hình vuông.
a+b+c=3 và \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{3}\) Chứng minh trong a,b,c tồn tại một số bằng 3
1.tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn a^2=b^3 ; c^3=d^4 ; a=d+98
2. cho các số dương a,b,c,d cmr trong 4 số
a2 +1/b +1/c ; b2 +1/c +1/d ; c2 +1/c+1/d ; d2+1/a+1/b có ít nhất một số không nhỏ hơn 3
Cho dãy số a1,a2,...,a41, mà mỗi phần tử chỉ được tạo bởi số 1 và số 2, trong đó có ít nhất 21 số chỉ được tạo bởi các số 1, CMR tồn tại một số phần tử của dãy có tổng bằng đúng 20
cho 100 số tự nhiên \(a_1,a_2,a_3,...,a_{100}\) thỏa mãn : \(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}=19\)
CMR trong 100 số đó tồn tại 2 số bằng nhau .
cho a, b, c đôi một khác nhau. CMR:
\(\dfrac{a^2}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{b^2}{\left(c-a\right)^2}+\dfrac{c^2}{\left(a-b\right)^2}\ge2\)
Chứng minh tồn tại các số nguyên a, b, c sao cho \(0< \left|a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}\right|< \frac{1}{1000}\)
cmr tồn tại 1 số tự nhiên tất cả các chữ số bằng 1 chia hết cho 1993
