Giả sử \(x_0\) là nghiệm chung của hai phương trình
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2_0+ax_0+b=0\left(1\right)\\x^2_0+cx_0+d=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (1) - (2)
\(\Rightarrow x_0\left(a-c\right)=-\left(b-d\right)\)
\(\Leftrightarrow x_0^2\left(a-c\right)^2=\left(b-d\right)^2\) (*)
Lấy (1) nhân c; (2) nhân a
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}cx^2_0+acx_0+bc=0\left(3\right)\\ax^2_0+acx_0+ad=0\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (4) -(3)
\(\Rightarrow\left(a-c\right)x^2_0+ad-bc=0\Leftrightarrow\left(a-c\right)x^2_0=-\left(ad-bc\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2x^2_0=-\left(a-c\right)\left(ad-bc\right)\)(**)
Từ (*) và (**) ta được
\(\left(b-d\right)^2=-\left(a-c\right)\left(ad-bc\right)\Leftrightarrow\left(b-d\right)^2+\left(a-c\right)\left(ad-bc\right)\)
