Question

Cho 2021 số nguyên dương a₁, a₂, a₃, ..., a₂₀₂₁ thỏa mãn \(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{2021}}=1011\)

CMR : Ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau.

Answer 1

Giả sử trong 2021 số nguyên dương đã cho không có số nào bằng nhau.

Và a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₂₀₂₁ . Ta có :

\(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{2021}}\le\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2021}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{2021}}< \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2}=1+1010=1011\)

(mâu thuẫn)

⇒Điều giả sử sai. ⇒ Ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau.