Question

cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn \(x^4+y^4+\frac{1}{xy}=xy+2\) tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P=xy

Answer 1

Ta có: \(x^4+y^4\ge2x^2y^2\) và \(x^4+y^4+\frac{1}{xy}=xy+2\) ta được:

\(xy+2\ge2x^2y^2+\frac{1}{xy}\)

Đặt: \(xy=t>0\) ta được: \(t+2\ge2t^2+\frac{1}{t}\Leftrightarrow2t^3-t^2-\left(2t-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+1\right)\left(t-1\right)\left(2t-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(2t-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le t\le1\)

Từ trên ta suy ra được: \(Min_P=\frac{1}{2};Max_P=1\)