Question

Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện : \(x+y\le4\)

tìm GTNN của P=\(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{35}{xy}+2xy\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\geq 2.\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{8}{(x+y)^2}\geq \frac{8}{4^2}=\frac{1}{2}(1)\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(\frac{32}{xy}+2xy\geq 2\sqrt{\frac{32}{xy}.2xy}=16(2)\)

\(4\geq x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 4\Rightarrow \frac{2}{xy}\geq \frac{2}{4}=\frac{1}{2}(3)\)

Từ \((1)+(2)+(3)\Rightarrow P\geq \frac{1}{2}+16+\frac{1}{2}=17\)

Vậy GTNN của $P$ là $17$ khi $x=y=2$