Question

cho 2 hàm số y=x-2m-1 (1) và y=-2x+m+5 (2) trong đó m là tham số.đồ thị hàm số (1) và (2) cắt nhau tại điểm M(x;y). Tìm m để biểu thức x^2+y^2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Answer 1

Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

\(x-2m-1=-2x+m+5\)

\(\Leftrightarrow 3x=3m+6\)

\(\Leftrightarrow x=m+2\)

\(\Rightarrow y=x-2m-1=(m+2)-2m-1=1-m\)

Vậy tọa độ của M là \((x,y)=(m+2, 1-m)\)

Khi đó: \(A=x^2+y^2=(m+2)^2+(1-m)^2\)

\(A=2m^2+2m+5=2(m+\frac{1}{2})^2+\frac{9}{2}\)

Thấy: \((m+\frac{1}{2})^2\geq 0\Rightarrow A\geq \frac{9}{2}\) hay \(A_{\min}=\frac{9}{2}\)

Tại $A$ min \(m+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}\)

Vậy \(m=-\frac{1}{2}\)