Question

Cho 0 ≤ a,b,c ≤ 1;a + b + c = 2 Tìm GTLN của \(N=a^2+b^2+c^2\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có: \(N=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)\)

\(=4-2(ab+bc+ac)\)

Vì \(a,b,c\leq 1\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow (ab-a-b+1)(c-1)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1\leq 0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq a+b+c-1+abc\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 1+abc\geq 1\) (do \(a,b,c\geq 0\rightarrow abc\geq 0\) )

Do đó:

\(N=4-2(ab+bc+ac)\leq 4-2=2\)

Hay \(N_{\max}=2\)

Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(1,1,0)\) và hoán vị .