Question

Chi hnhf thoi ABCD với\(\widehat{BAD}=120^o\). Tia à tạo với tia AB ,\(\widehat{BAx}=15^o\) và cắt cạnh BC tại M , cắt đường thẳng CD tại N . c/m

\(\dfrac{3}{AM^2}+\dfrac{3}{AN^2}=\dfrac{4}{AB^2}\)

Answer 1

Answer 2

Kẻ\(AK\perp AM\left(K\in OC\right)\)

\(AH\perp DC\left(H\in DC\right)\)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao và tam giác vuông AKN , đường cao AH , ta có

\(\dfrac{1}{AK^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AH^2}\left(1\right)\)

Xét \(\Delta AMB\)và\(\Delta ADK\)có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AD=AB\\\widehat{B}=\widehat{D}\\\widehat{DAK}=\widehat{MAB}\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta AMB=\Delta AKD\)

=> AM=AK ( 2 cạnh tương ứng)(2)

Áp dụng định lý py-ta-go , ta có :

\(HD^2+AH^2=AD^2\)

=>\(AH^2=AD^2-HD^2\)(3)

\(\Delta ADH\perp H\)có :\(\widehat{ADH}+\widehat{DAH}=90^o\)

=> \(\widehat{ADH}=90^o-60^o\)(Vì ABCD là h.thoi có góc DAB=120 độ => góc DAH=60 độ)

=>\(\widehat{ADH}=30^o\)

=>\(DH=\dfrac{1}{2}AD\)(4)

Thay (4) vào (3) , ta có : \(AH^2=AD^2-\left(\dfrac{1}{2}.AD\right)^2\)

=\(\dfrac{3}{4}.AD^2\)

=\(\dfrac{3}{4}.AB^2\)(vì AB=AD)

Thay (2) vào (5) , ta có :

\(\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{4}{3AB^2}\)

<=> \(\dfrac{3}{AM^2}+\dfrac{3}{AN^2}=\dfrac{4}{AB^2}\)

Answer 3

Cái hình vẽ bạn sửa lại xíu cho đúng nha , mình vẽ xấu quá . Chúc bạn học tốt~~