Question

Câu 6 : Cho số tự nhiên n với n > 2. Biết 2\(^n\) - 1 là một số nguyên tố. Chứng tỏ rằng số 2\(^n\) + 1 là hợp số.

Answer 1

Lời giải:

Nếu $n$ là số chẵn. Đặt $n=2k$ ($k$ tự nhiên)

$\Rightarrow 2^n-1=2^{2k}-1=4^k-1=(3+1)^k-1=\text{BS3}+1-1=\text{BS3}$ chia hết cho $3$

Mà $2^n-1>3$ với mọi $n>2$ nên không thể là số nguyên tố.

Do đó $n$ là số lẻ. Đặt $n=2k+1$ với $k$ tự nhiên.

Khi đó: $2^n+1=2^{2k+1}+1=2.4^k+1=2(3+1)^k+1=2(\text{BS3}+1)+1=2\text{BS3}+3=\text{BS3}$

Mà $2^n+1>3$ nên $2^n+1$ là hợp số (đpcm)

Ký hiệu: $\text{BS3}$ là bội số của $3$