Câu 1: CMR: tích của một số chính phương và số đứng ngay trước nó chia hết cho 12
Câu 2: Cho đường tròn (O) và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (O) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F. 1. CMR: các điểm A, E, F thẳng hàng 2. CMR: AM.AN không đổi 3. CMR: A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất
Câu 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. CMR: \(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le xyz\)
Giúp mk với mk xin cảm ơn trước.
a/ Đặt \(A=\left(n^2-1\right)n^2=\left(n-1\right)n\left(n+1\right).n\)
\(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 3
- Nếu n chẵn \(\Rightarrow n=2k\Rightarrow n^2=4k^2⋮4\) \(\Rightarrow A⋮4\)
Mà 3;4 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow A⋮12\)
- Nếu n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\Rightarrow n^2-1=4\left(k^2+k\right)⋮4\)
Tương tự như trên \(\Rightarrow A⋮12\)
Vậy \(A⋮12\) với mọi n nguyên
c/ \(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}=\frac{1+\frac{1}{2}.2\sqrt{1+x^2}}{x}\le\frac{1+\frac{1}{4}\left(4+1+x^2\right)}{x}=\frac{9+x^2}{4x}\)
Tương tự: \(\frac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}\le\frac{9+y^2}{4y}\) ; \(\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\frac{9+z^2}{4z}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{9}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)=\frac{9}{4}\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)+\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)\)
\(VT\le\frac{3}{4}.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz}+\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)=\frac{3}{4}.\frac{\left(xyz\right)^2}{xyz}+\frac{1}{4}xyz=xyz\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
Bài hình để các bạn khác làm :)
