Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ CH vuông góc AB (H ∈ AB) . Gọi M là trung điểm BC , gọi O là giao điểm của AM với CH.
a) Biết AB=AC=10cm và AH=6cm, tính độ dài cạnh CH
b) Chứng minh ∆ ABM=∆ ACM và (BAM) ̂=(CAM) ̂ .
c) Chứng minh tam giác OBC cân .
d) OB vuông góc AC (K là giao điểm của OB và AC)
a) Tính CH
Áp dụng định lí pytago vào ΔACH vuông tại H, ta được
\(AC^2=AH^2+CH^2\)
hay \(CH^2=AC^2-AH^2=10^2-6^2=64\)
\(\Rightarrow CH=\sqrt{64}=8cm\)
Vậy: CH=8cm
b)
*Chứng minh ΔABM=ΔACM
Xét ΔABM và ΔACM có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
AM là cạnh chung
BM=CM(M là trung điểm của BC)
Do đó: ΔABM=ΔACM(c-c-c)
*Chứng minh \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)
Ta có: ΔABM=ΔACM(cmt)
⇒\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)(hai góc tương ứng)
c) Chứng minh ΔOBC cân
Ta có: ΔABM=ΔACM(cmt)
⇒\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
hay AM⊥BC
mà O∈AM
nên OM⊥BC
Xét ΔOMB vuông tại M và ΔOMC vuông tại M có
BM=CM(M là trung điểm của BC)
OM là cạnh chung
Do đó: ΔOMB=ΔOMC(hai cạnh góc vuông)
⇒OB=OC(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔOBC có OB=OC(cmt)
nên ΔOBC cân tại O(định nghĩa tam giác cân)
d) Chứng minh OB⊥AC
Xét ΔABC có
CH là đường cao ứng với cạnh AB(CH⊥AB)
AM là đường cao ứng với cạnh BC(AM⊥BC)
\(CH\cap AM=\left\{O\right\}\)
Do đó: O là trực tâm của ΔABC(định nghĩa trực tâm của tam giác)
⇒BO là đường cao ứng với cạnh AC
hay OB⊥AC(đpcm)
