Question

Biết rằng trên khoảng (\(\frac{3}{2}\);+∞), hàm số f(x) =\(\frac{20x^2-30x+7}{\sqrt{2x-3}}\)có một hàm nguyên F(x)=(ax²+bx+c). \(\sqrt{2x-3}\), ( a,b,c∈z) . Tính S=a+b+c bằng

Answer 1

Có 2 cách làm, tính đạo hàm của \(F'\left(x\right)\) và đồng nhất hệ số với \(f\left(x\right)\), hoặc tính nguyên hàm của \(f\left(x\right)\) và đồng nhất hệ số với \(F\left(x\right)\), nhưng rõ ràng là tính đạo hàm dễ hơn tính nguyên hàm nhiều lần

\(F'\left(x\right)=\left(2ax+b\right)\sqrt{2x-3}+\frac{\left(ax^2+bx+c\right)}{\sqrt{2x-3}}\)

\(=\frac{\left(2ax+b\right)\left(2x-3\right)+ax^2+bx+c}{\sqrt{2x-3}}=\frac{5ax^2+\left(3b-6a\right)x+c-3b}{\sqrt{2x-3}}\)

Đồng nhất hệ số với \(f\left(x\right)\) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}5a=20\\3b-6a=-30\\c-3b=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=-2\\c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S=3\)