\(I=\int\limits^3_2\dfrac{ln\left(x^3-3\right)}{x^4}dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=ln\left(x^3-3\right)\\dv=\dfrac{1}{x^4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{3x^2}{x^3-3}\\v=-\dfrac{1}{3x^3}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{x^3-3}{9x^3}\end{matrix}\right.\)
(khi lựa chọn v chúng ta sử dụng 1 mẹo nho nhỏ là \(\left[f'\left(x\right)+k\right]'=f'\left(x\right)\) với k là hằng số bất kì, nghĩa là thêm bớt hằng số vào v ko làm thay đổi bài toán, từ đó trong 1 số bài khi tính tích phân từng phần ta có thể linh hoạt thêm 1 hằng số vào v sao cho kết quả \(v.du\) gọn nhất có thể)
\(\Rightarrow I=\dfrac{\left(x^3-3\right)}{9x^3}.ln\left(x^3-3\right)-\int\dfrac{1}{3x}dx=\dfrac{\left(x^3-3\right)ln\left(x^3-3\right)}{9x^3}-\dfrac{1}{3}lnx\)
Tới đây thế cận tính toán là xong
Gợi ý:
Đổi biến nhìn cho gọn nhé:
Đặt $u=x+1$, vậy $u \in [2;3]$ ($du=dx$).
Ta cần tìm: \(\int\dfrac{ln\left(u^3-3\right)}{u^4}du\)
\(=\int ln\left(u^3-3\right).u^{-4}du\)
\(=\int ln\left(u^3-3\right)u^{-4}du\)
\(=ln\left(u^3-3\right).\left(\dfrac{-1}{3}\right)\left(u\right)^{-3}-\int\left(\dfrac{-1}{3}\left(u\right)^{-3}\right).\dfrac{1}{u^3-3}.3u^2du\)
Đặt \(A=ln\left(u^3-3\right).\left(\dfrac{-1}{3}u^{\left(-3\right)}\right)|_2^3=...\) (Chỗ này em tự tính nốt nhé!).
\(B=-\dfrac{1}{3}.\int_2^3\dfrac{1}{u^3}.\dfrac{1}{u^3-3}3u^2du\)
Đến đây, để tính $B$, em đặt ẩn phụ $v=u^3$ ,$v \in [8;27]$, $dv=3u^2du$.