Question

bai1:phân tích đa thức P(x)=x^4-x^3-2x-4 thành nhân tử,biết rằng một nhân tử có dạng :x^2+dx+2

bai2:với giá trị nào của a va b thì đa thức x^3+ax^2+2x+b chia hết cho đa thức x^2+x+1

Answer 1

Bài 1:

Vì đa thức đã cho có bậc 4 và có nhân tử \(x^2+dx+2\) nên nó có thể viết dưới dạng sau:

\(P(x)=x^4-x^3-2x-4=(x^2+dx+2)(x^2+mx-2)\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3-2x-4=x^4+x^3(d+m)+x^2.dm+x(2m-2d)-4\)

Thực hiện đồng nhất hệ số:

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} d+m=-1\\ dm=0\\ 2m-2d=-2\end{matrix}\right.\) kéo theo \(\left\{\begin{matrix} d=0\\ m=-1\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(x^4-x^3-2x-4=(x^2+2)(x^2-x-2)=(x^2+2)(x-2)(x+1)\)

Answer 2

Bài 2:

Biến đổi:

\(x^3+ax^2+2x+b=x(x^2+x+1)+(a-1)(x^2+x+1)+x+b-(a-1)x-(a-1)\)

\(=(x+a-1)(x^2+x+1)+x(2-a)+(b-a+1)\)

Thấy rằng bậc của \(x(2-a)+(b-a+1)\) nhỏ hơn bậc của \(x^2+x+1\) nên nó là số dư của \(x^3+ax^2+2x+b\) chia cho \(x^2+x+1\).

Như vậy, để \(x^3+ax^2+2x+b\vdots x^2+x+1\Rightarrow x(2-a)+(b-a+1)=0\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2-a=0\\ b-a+1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \((a,b)=(2,1)\)