=> 4(10x+y) =4xy= 4(x2-1)+ 4(y2-1). Khai triển chuyển vế và nộp lại ta có: (2x-12)2+ (2y-3)2 =145=122 + 12=82+ 92
Ta có: -10=(2.1-12)<=(2x-12)<=(2.9-12)=7
-3=(2.0-3)<=(2y-3)<=(2.9-3)=15
=> 2x-12=-8=> 2y-3=9=> x=2 và y=6=> xy=26
\(\overline{xy}=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\)
\(4\overline{xy}=4\left[\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\right]\)
\(4\left(10x+y\right)=4\left(x^2-2x+1\right)+4\left(y^2-2y+1\right)\)
\(40x+4y-4x^2+8x-4-4y^2+8y-4=0\)
\(4x^2-48x+144+4y^2-12y+9=145\)
\(\left(2x-12\right)^2+\left(2y-3\right)^2=12^2+1^2=8^2+9^2\)
Xét các TH:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-12\right|=12\\\left|2y-3\right|=1\end{matrix}\right.\)(giải thì hệ này không thỏa mãn điều kiện)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-12\right|=1\\\left|2y-3\right|=12\end{matrix}\right.\)(Hệ này cũng không thỏa mãn điều kiện)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-12\right|=8\\\left|2y-3\right|=9\end{matrix}\right.\)( Nhận nghiệm x=2;y=6)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|2x-12\right|=9\\\left|2y-3\right|=8\end{matrix}\right.\)(Hệ này không thỏa mãn điều kiện)
Vậy\(\overline{xy}=26\)
<=> \(10x+y=x^2-2x+1+y^2-2y+1\)
\(\Leftrightarrow x^2-12x+1+y^2-3y+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x\right)^2+48x+144+\left(2y\right)^2-12y+9=151\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-12\right)^2+\left(2y-3\right)^2=151\)
Giải tiếp là ra :">
\(\overline{xy}=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=10x+y\)
\(\Leftrightarrow x^2-12x+y^2-3y+2=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2-48x+4y^2-12y+8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x\right)^2-2.2x.12+144+\left(2y\right)^2-2.2y.3+9-145=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-12\right)^2+\left(2y-3\right)^2=145\)
mà \(145=12^2+1^2=9^2+8^2\)
và \(\left\{{}\begin{matrix}2x-12>-12\\2y-3>-3\end{matrix}\right.\) (x, y nguyên dương)
và \(2y-3\) là số lẻ
=> Có 2 trường hợp có thể xảy ra:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-12=12\\2y-3=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=12\\y=2\end{matrix}\right.\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-12=8\\2y-3=9\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=10\\y=6\end{matrix}\right.\)
Vậy (x ; y) = (12 ; 2) ; (10 ; 6)
X = 1 => 10 + y = (y-1)2 <=> y2 - 3y - 9 = 0 ( Δ = 45 => vô nghiệm nguyên dương)
X = 2 => 20 + y = 1 + (y-1)2 => y2 - 3y -18 = 0 => y=6 (tm)
X=3 => 30 + y = 4 + (y-1)2 => y2 - 3y -25 = 0 (vô nghiêjm nguyên dương)
X=4 => 40 + y = 9 + (y-1)2 => y2 - 3y -30 = 0 (vn nguyên dương)
X=5 => 50 + y = 16 + (y-1)2 => y2 - 3y -33 = 0 (vn nguyên dương)
X=6 => 60 + y = 25 + (y-1)2 => y2 - 3y -34 = 0
X=7=> 70 + y = 36 + (y-1)2 => y2 - 3y -33 = 0 (vn ngyên dương)
X=8 => 80 + y = 49 + (y-1)2 => y2 - 3y -30 = 0 (vn nguyên dương)
X=9 => 90+y= 64 + (y-1)2 => y2 -3y -25 = 0 (vn nguyên dương)
=> số cần tìm là 16
Okie các bạn trl rất nhanh và nguy hiểm ;v vì bạn đầu tiên trl đúng đáp án nhưng cách trình bày chưa đẹp mắt, nên mình chia GP ra mỗi bạn 1 cái nhé :v
Lời giải như sau :
Ta có phương trình tương đương với :
\(10x+y=x^2+y^2-2x-2y+2\Leftrightarrow\left(2x-12\right)^2+\left(2y-3\right)^2=145\)
vì x,y là các chữ số nên vế trái là tổng các bình phương của hai số nguyên. Ta phân tích : \(145=12^2+1^2=9^2+8^2\)
Xét các khả năng có thể xảy ra, ta có cặp x = 2, y = 6 thỏa mãn.
Vậy \(\overline{xy}=26\)
