Question

BÀI 4: Cho tam giác ABC có góc A nhọn về phía ngoài tam giác ABC dựng các tam giác vuông cân đỉnh góc A là tam giác ABD và tam giác ACE
a) Chứng minh rằng tam giác ADC = tam giác ABE và CD vuông góc với BE
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM=1/2DE và AM vuông góc với DE
c) Vẽ AH vuông góc với BC, đường thẳng AH cắt DE ở K. Chứng minh DK=KE

Answer 1

a) Ý 1: Vì \(\Delta\)ABD vuông cân tại A

=> AD = AB; \(\widehat{DAB}\) = 90^o (1)

\(\Delta\)ACE vuông cân tại A

=> AE = AC; \(\widehat{EAC}\) = 90^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DAB}\) = \(\widehat{EAC}\)

Ta có: \(\widehat{DAB}\) + \(\widehat{BAC}\) = \(\widehat{DAC}\)

\(\widehat{EAC}\) + \(\widehat{BAC}\) = \(\widehat{EAB}\)

mà \(\widehat{DAB}\) = \(\widehat{EAC}\) => \(\widehat{DAC}\) = \(\widehat{EAB}\)

Xét \(\Delta\)ADC và \(\Delta\)ABE có:

AD = AB (c/m trên)

\(\widehat{DAC}\) = \(\widehat{EAB}\) (c/m trên)

AC = AE (c/m trên)

=> \(\Delta\)ADC = \(\Delta\)ABE (c.g.c) \(\rightarrow\) đpcm

Ý 2: Gọi giao điểm của AB và DC là F

Gọi giao điểm của BE và DC là I

Do \(\Delta\)ADC = \(\Delta\)ABE

=> \(\widehat{ADC}\) = \(\widehat{ABE}\)

Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác ta có:

\(\widehat{ADC}\) + \(\widehat{DAB}\) + \(\widehat{DFA}\) = 180^o

\(\widehat{ABE}\) + \(\widehat{BIF}\) + \(\widehat{BFC}\) = 180^o

mà \(\widehat{ADC}\) = \(\widehat{ABE}\); \(\widehat{DFA}\) = \(\widehat{BFC}\) (đối đỉnh)

=> \(\widehat{DAB}\) = \(\widehat{BIF}\) = 90^o

Do đó CD \(\perp\) BE \(\rightarrow\) đpcm

b) Đang nghĩ.

Answer 2

b) Kẻ MN là tia đối của tia MA và MA = MN

Kẻ OA là tia đối của AI

Ý 1: Xét \(\Delta\)AMC và \(\Delta\)NMB có:

AM = NM (cho ở trên)

\(\widehat{AMC}\) = \(\widehat{NMB}\) (đối đỉnh)

MC = MB (suy từ gt)

=> \(\Delta\)AMC = \(\Delta\)NMB (c.g.c)

=> \(\widehat{ACM}\) = \(\widehat{NBM}\) (2 góc t/ư)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AC // BN

Ta được: \(\widehat{CAB}\) + \(\widehat{ABN}\) = 180^o (trong cùng phía) (3)

Ta có: \(\widehat{BAN}\) + \(\widehat{DAB}\) + \(\widehat{DAO}\) = 180^o

=> \(\widehat{BAN}\) + \(\widehat{DAO}\) = 90^o (\(\widehat{DAB}\) = 90^o) (1)

\(\widehat{CAN}\) + \(\widehat{EAC}\) + \(\widehat{EAO}\) = 180^o

=> \(\widehat{CAN}\) + \(\widehat{EAO}\) = 90^o (\(\widehat{EAC}\) = 90^o) (2)

Cộng vế (1) và (2) ta được:

\(\widehat{BAN}\) + \(\widehat{DAO}\) + \(\widehat{CAN}\) + \(\widehat{EAO}\) = 90^o + 90^o

=> (\(\widehat{BAN}\) + \(\widehat{CAN}\)) + (\(\widehat{DAO}\) + \(\widehat{EAO}\)) = 180^o

=> \(\widehat{CAB}\) + \(\widehat{DAE}\) = 180^o (4)

Từ (3) và (4) suy ra:

\(\widehat{CAB}\) + \(\widehat{DAE}\) = \(\widehat{CAB}\) + \(\widehat{ABN}\)

=> \(\widehat{DAE}\) = \(\widehat{ABN}\)

Do \(\Delta\)AMC = \(\Delta\)NMB => AC = NB

mà AC = AE => NB = AE

Xét \(\Delta\)ABN và \(\Delta\)DAE có:

AB = AD (câu a)

\(\widehat{ABN}\) = \(\widehat{DAE}\) (c/m trên)

BN = AE (c/m trên)

=> \(\Delta\)ABN = \(\Delta\)DAE (c.g.c)

=> AN = DE (2 cạnh tương ứng) (5)

mà AM = \(\frac{1}{2}\)AN (AM = MN \(\rightarrow\) M là trung điểm) (6)

Thay (5) vào (6) ta đc: AM = \(\frac{1}{2}\)DE \(\rightarrow\) đpcm

Ý 2: Ta có: \(\widehat{BAN}\) + \(\widehat{DAO}\) = 90^o (7)

Lại do \(\Delta\)ABN = \(\Delta\)DAE (c/m trên)

=> \(\widehat{BAN}\) = \(\widehat{ADE}\) (2 góc t/ư) (8)

Thay (8) vào (7) ta được:

\(\widehat{ADE}\) + \(\widehat{DAO}\) = 90^o hay \(\widehat{ADO}\) + \(\widehat{DAO}\) = 90^o

Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác ta có:

\(\widehat{ADO}\) + \(\widehat{DAO}\) + \(\widehat{AOD}\) = 180^o

=> 90^o + \(\widehat{AOD}\) = 180^o

=> \(\widehat{AOD}\) = 90^o

Do đó AO \(\perp\) DE hay AM \(\perp\) DE \(\rightarrow\) đpcm

Answer 3

đợi người trả lời đi